作业帮蝴蝶定理怎么证啊,一定要是初中声看得懂的哈!
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/27 20:48:04
蝴蝶定理怎么证啊,一定要是初中声看得懂的哈!
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设弦AB的中点为M,过M 作弦CD,EF,连EC,DF交AB于G,H,则GM=GF.这是蝴蝶定理,下面证明.
※先给出一个关于面积的定理：
△ABC的面积=（1/2）×AB×AC×sinA
证明：设△EGM、△DHM、△MHF、△MCG的面积分别为S1、S2、S3、S4,则
S1=(1/2)ME×MGsin∠EMG＝（1/2）EG×EMsin∠E
S2=(1/2)MH×MDsin∠DMH＝（1/2）MD×DBsin∠D
S3=(1/2)MH×MFsin∠HMF＝（1/2）BF×FMsin∠F
S4=(1/2)MG×MCsin∠GMC＝（1/2）CM×CGsin∠C
其中从∠EMG=∠HMF,∠DMH=∠GMC,∠E=∠D,∠F=∠C
∴sin∠EMG=sin∠HMF,sin∠DMH=sin∠GMC ,
sin∠E = sin∠D,sin∠F = sin∠C
∵（S1/S2）×（S2/S3）×（S3/S4）×（S4/S1）=1
∴｛[(1/2)ME×MGsin∠EMG]/[(1/2)MH×MDsin∠DMH]｝×
｛[（1/2）MD×DBsin∠D]/[(1/2)MH×MFsin∠HMF]｝×
｛[（1/2）BF×FMsin∠F]/[（1/2）CM×CGsin∠C]｝×
｛[(1/2)MG×MCsin∠GMC]/[（1/2）EG×EMsin∠E]｝ ＝1
整理后：
（MG的平方/MH的平方）×（DB×BF）/（EG×CG）=1…①
令(1/2)AB=a,MG=m,MH=n.由相交弦定理：
DB×BF=BH×AH=(a-n)(a+n),EG×CG=(a-m)(a+m),代入①
并整理得：(am)的平方=(an)的平方,∵a≠0,∴m=n,
即,MG=MH