上三角矩阵的逆矩阵还是上三角矩阵嘛?

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 08:18:17
上三角矩阵的逆矩阵还是上三角矩阵嘛?

上三角矩阵的逆矩阵还是上三角矩阵嘛?
上三角矩阵的逆矩阵还是上三角矩阵嘛?

上三角矩阵的逆矩阵还是上三角矩阵嘛?
结论是对的.给你两种证法.
方法1.若T是上三角矩阵,求解线性方程组TS=I,从右下角开始向前求解,可以按分块形式来写
S(n,n)=1/T(n,n)
S(n,1:n-1)=0
S(1:n-1,n)=-T(1:n-1,1:n-1)^{-1}T(1:n-1,n)S(n,n) ——这块不重要
S(1:n-1,1:n-1)=T(1:n-1,1:n-1)^{-1} ——这个地方用归纳法
归纳一下即可.
方法2.利用ST=TS=I,忽略等于I的条件,直接可以证明和T可交换的矩阵必定是上三角阵.利用线性性只需要考察i>j时T和E_{i,j}(表示i行j列为1,其余位置为0的矩阵)不可交换.

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