求全国初中数学联赛决赛2005至2009年试题

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求全国初中数学联赛决赛2005至2009年试题
2005
2005年全国初中数学联赛决赛试卷
一、选择题：(每题7分,共42分)
1、化简：的结果是＿＿.
A、无理数 B、真分数 C、奇数 D、偶数
2、圆内接四条边长顺次为5、10、11、14；则这个四边形的面积为＿＿.
A、78.5 B、97.5 C、90 D、102
3、设r≥4,a＝ ,b＝ ,
c＝ ,则下列各式一定成立的是＿＿.
A、a>b>c B、b>c>a C、c>a>b D、c>b>a
4、图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成,如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和,则这两圆的公共弦长是＿＿.
A、 B、 C、 D、
5、已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示,y
记p＝|a－b＋c|＋|2a＋b|,q＝|a＋b＋c|＋|2a－b|,则＿＿.
A、p>q B、p＝q C、pb>c B、b>c>a C、c>a>b D、c>b>a
解法1：用特值法,取r=4,则有
a= ,b＝ ,
c＝
∴c>b>a,选D
解法2：a＝ ,
b＝
c＝
解法3：∵r≥4 ∴ ＜1
∴
c＝
∴ab C a>b>c D b>a>c
5设a,b为有理数且满足等式：下载 (2.84 KB)
2008-8-15 14:43,则a+b的值为：
A 2 B 4 C 6 D 8
6 将满足条件“至少出现一个数字0且是4的倍数的正整数”从小到大排成一列数:20,40,60,80,100,104.则这列数的第158个数为：
A 2000 B 2004 C 2008 D 2012
二、填空题（本题满分28分,每小题7分）
1 函数y=x2-2006|x|+2008的图像与x轴交点的横坐标之和等于_______
2 在等腰直角ΔABC中,AC=BC=1,M是BC中点,CE垂直AM于E,交AB于F,则SΔMBF=_______
3 使 下载 (2.25 KB)
2008-8-15 14:43取最小值的实数x的值为______
4 在平面直角坐标系中,正方形OABC的顶点坐标分别为：O(0,0),A(100,0)B(100,100)C(0,100).若正方形OABC内部（边界及顶点除外）一格点P满足SΔPOA*SΔPBC=SΔPAB*SΔPOC就称格点P为好点,则正方形内部好点个数为____
(格点即横纵坐标皆为整数的点）
三、解答题（本题共3小题,1题20分,2,3题各25分）
1 （本题满分20分）
如图1,D为等腰三角形ABC底边BC的中点,E、F分别为AC及其延长线上的点,又已知角EDF=90°,ED=FD=1,AD=5,求BC长.
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2008-8-15 13:41
2 （本题满分25分）
在平行四边形ABCD中,角A 的平分线分别与BC及DC的延长线交于E、F,点O,O1分别为三角形CEF和ABE的外心.
求证：(1)O,E,O1三点共线；
（2）若角ABC=70°,求角OBD度数.
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2008-8-15 14:03
3 （本题满分25分）
设p为正整数,且p>=2.在平面直角坐标系中,连结点A（0,p）,和B（p,0）的线段通过p-1个格点:C1(1,P-1)C2(2,P-2).Ci(i,p-i）,.Cp-1（p-1,1)
证明：（1）如果p为素数,则在原点O（0,0）和点Ci（i,p-i）的连线段OCi上除端点外无其他格点.
（2）若在原点O（0,0）与点Ci（i,p-i）的连线段上无端点外的格点,则p为素数.
[ 本帖最后由 流水无惭 于 2008-8-15 14:45 编辑 ]
1
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帖子1171 精华3 积分13767 威望854 点 数联积分7935 分 数联币1592 个 最后登录2009-8-5 2楼 发表于 2008-8-15 13:56 | 只看该作者 如果您觉得数联天地不错,请帮忙宣传一下
2006年全国初中数学联赛决赛试题答案（部分步骤省略）
一、1.B 2.C 3.D 4.A 5.B 6.C
二、
1、0 2、1/12 3、 8/3 4、197
三、
过E作EG垂直AD于G,过F作FH垂直AD于H
则角EDG=角DFH所以三角形EDG和DFH全等,设EG=x,DG=y则DH=x,FH=y且x^2+y^2=1
因为三角形AEG和三角形AFH相似,所以x/y=(5-y）/（5+x)
联立以上二式有y-x=1/5
又（x+y）^2+x-y)^2=2(x^2+y^2)知x+y=7/5
解得x=3/5,y=4/5
又有三角形AEG和三角形ACD相似,所以CD/AD=EG/AG,即CD=AD*EG/AG=5/7
所以BC=2CD=10/7
2 （1）连结OE,OF,O1A,O1E,
显然有OE=OF,O1A=O1E,角EOF=2倍角ABE=角AO1E
从而三角形OEF和三角形AO1E相似,角AEO1=角FEO,则O3O1共线.
（2）连结DO,CO
角CEF=角DAE=角BAF=角CFE,所以CE=CF又OE=OF=OC,所以三角形OCE全等于三角形OCF,所以角OEC=角OFC=角OCF,所以角OEB=角OCD,从而三角形OCD全等于三角形OEB,所以角ODC=角OBE,OD=OB,所以角ODC=角OBC,角OBD=角ODB,所以角OBD=角OBC+角CBD=角ODC+角BDA=角ADC-角BDO=角ABC-角OBD
所以角OBD=角ABC/2,所以角OBD=35°
3 （1）用P(a,b)表示三角形OAB内的格点,a,b为正整数,假设结论不成立,则P位于某线段OCi内部,过P作PE垂直
OB于E,过Ci作CiF垂直OB于F,三角形POE和三角形CiOF相似,则b/a=（p-i)/i
其中1