作业帮斜率为1的直线l与椭圆x*x/4+y*y=1相交于A.B两点,则AB的绝对值最大值为?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 15:21:45
斜率为1的直线l与椭圆x*x/4+y*y=1相交于A.B两点,则AB的绝对值最大值为?
斜率为1的直线l与椭圆x*x/4+y*y=1相交于A.B两点,则AB的绝对值最大值为?
斜率为1的直线l与椭圆x*x/4+y*y=1相交于A.B两点,则AB的绝对值最大值为?
设斜率为1的直线l的方程为y=x+m(m∈R)
于椭圆方程结合可得：5x^2+8mx+4m^2-4=0
(y1-y2)^2=(x1-x2)^2=（x1+x2）^2-4x1x2
AB=根号（80-16m^2）*根号2/5
所以当m=0时
AB取得最大,最大为: 根号160/5=4根号10/5
y=x
x^2/4+y^2=1
5x^2/4=1
x1+x2=0
x1x2=-1/(5/4)=4/5
(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=16/5
AB=√(2*16/5)=4√10/5
斜率为1 的直线方程为 y=x+b
此直线与椭圆 x²/4+y²=1 相交于点A，B,设的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2)
把直线方程代入椭圆方程，得
x²/4+(x+b)²=1
x²+4x²+8bx+4b²-1=0
5x²+8bx+4b²-1=0
...
全部展开
斜率为1 的直线方程为 y=x+b
此直线与椭圆 x²/4+y²=1 相交于点A，B,设的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2)
把直线方程代入椭圆方程，得
x²/4+(x+b)²=1
x²+4x²+8bx+4b²-1=0
5x²+8bx+4b²-1=0
这个方程有二个不相等的实数根x1,x2,且为A，B的横坐标
所以，
x1+x2=-8b/5 x1x2=(4b²-1)/5
于是 y1+y2=(x1+b)+(x2+b)=(x1+x2)+2b=-8b/5+2b=2b/5
y1y2=(x1+b)(x2+b)=x1x2+b(x1+x2)+b²=4b²/5-1/5-8b²/5+b²=6b²/5-1/5
因为 AB²=（x1-x2)²+(y1-y2)²
=(x1+x2)²-4x1x2+(y1+y2)²-4y1y2
=1/25(64b²-80b²+20+4b²-120b²+20)
=1/25(-136b²+40)
当b=0 时，AB²有最大值，即|AB|有最大值，其最大值为 4√5/5
收起
设直线y=x+b和椭圆联立，|AB|有个固定公式忘了，都大二了
|AB|=（x1-x2)2+(y1-y2)2开方整理下和联立整理结果能联系起来，转化为可求最值的式子，即当b满足什么条件时，有|AB|max=
实在想不起来高中的了