作业帮已知椭圆G：X^2/4+Y^2=1,过点（m,0）做圆X^2+Y^2=1的切线L交椭圆G于A,B,两点.（1）求椭圆G的焦点坐标和离心率；（2）将|AB|表示为m的函数,并求|AB|的最大值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/07 09:17:58
已知椭圆G：X^2/4+Y^2=1,过点（m,0）做圆X^2+Y^2=1的切线L交椭圆G于A,B,两点.（1）求椭圆G的焦点坐标和离心率；（2）将|AB|表示为m的函数,并求|AB|的最大值
已知椭圆G：X^2/4+Y^2=1,过点（m,0）做圆X^2+Y^2=1的切线L交椭圆G于A,B,两点.（1）求椭圆G的焦
点坐标和离心率；（2）将|AB|表示为m的函数,并求|AB|的最大值
已知椭圆G：X^2/4+Y^2=1,过点（m,0）做圆X^2+Y^2=1的切线L交椭圆G于A,B,两点.（1）求椭圆G的焦点坐标和离心率；（2）将|AB|表示为m的函数,并求|AB|的最大值
(1)
由已知得：
a²＝4,a＝2
b²＝1,b＝1
∴c＝√(a²－b²)＝√3
∴椭圆G的焦点坐标为(－√3,0)(√3,0)
离心率e＝c/a＝√3/2
(2)
由题意知：
|m|≥1
当m＝1时,切线l的方程为x＝1
点A,B的坐标分别为(1,√3/2),(1,－√3/2)
此时,|AB|＝√3
当m＝－1时,同理可得|AB|＝√3
当|m|＞1时,设切线l的方程为y＝k(x－m)
由：
{y＝k(x－m)
{(x²/4)＋y²＝1
得：
(1＋4k²)x²－8k²mx＋4k²m²－4＝0
设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)
则由韦达定理,得：
x1＋x2＝8k²m/(1＋4k²)
x1•x2＝(4k²m²－4)/(1＋4k²)
又l与圆x²＋y²＝1相切,得：
|km|/√(k²＋1)＝1
即m²k²＝k²＋1
∴|AB|＝√[(x1－x2)²＋(y1－y2)²]
＝√(1＋k²)[(x1＋x2)²－4x1x2]
＝√(1＋k²)[ [64k⁴m²/(1＋4k²)²]－[4(4k²m²－4)/(1＋4k²)] ]
＝(4√3|m|)/(m²＋3)
由于当m＝±1时,|AB|＝√3
∴|AB|＝(4√3|m|)/(m²＋3),m∈(－∞,－1]∪[1,＋∞)
∵|AB|＝(4√3|m|)/(m²＋3)＝4√3/[ |m|＋(3/|m|) ] ≤2
且当m＝±√3时,|AB|＝2
∴|AB|的最大值为2