作业帮椭圆公式：x^2/2+y^2=1 圆：x^2+y^2=2/3 圆切线交椭圆于A、B,证明以AB为直径的圆恒过定点
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 11:03:36
椭圆公式：x^2/2+y^2=1 圆：x^2+y^2=2/3 圆切线交椭圆于A、B,证明以AB为直径的圆恒过定点
椭圆公式：x^2/2+y^2=1 圆：x^2+y^2=2/3 圆切线交椭圆于A、B,证明以AB为直径的圆恒过定点
椭圆公式：x^2/2+y^2=1 圆：x^2+y^2=2/3 圆切线交椭圆于A、B,证明以AB为直径的圆恒过定点
设AB:y=kx+m,A(x1,y1)B(x2,y2)
则有：y1=kx1+m,y2=kx2+m
由于AB于圆相切
则圆心(0,0)到AB距离为半径
即：√(2/3)=|k*0-0+m|/[√(1+k^2)]
得：2k^2+2=3m^2 ----(1)
联立y=kx+m与x^2+2y^2=2得：
(1+2k^2)x^2+4kmx+2m^2-2=0
则：x1+x2=-4km/(1+2k^2),
x1x2=(2m^2-2)/(1+2k^2)
以AB为直径的圆：(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0
即：x^2+y^2-x(x1+x2)-y(y1+y2)+(x1x2+y1y2)=0
由于：y1y2=(kx1+m)(kx2+m)
则：x1x2+y1y2
=(1+k^2)x1x2+mk(x1+x2)+m^2
=[1/(1+2k^2)]*[(1+k^2)(2m^2-2)+mk(-4km)+m^2(1+2k^2)]
=[1/(1+2k^2)]*[(2m^2+2m^2k^2-2-2k^2)-4k^2m^2+m^2+2k^2m^2]
=[1/(1+2k^2)]*[3m^2-2-2k^2]
(1)代入得：
x1x2+y1y2
=[1/(1+2k^2)]*[(2k^2+2)-2-2k^2]
=0
故圆为：x^2+y^2-x(x1+x2)-y(y1+y2)=0
由于点(0,0)恒在该圆上
则：以AB为直径的圆恒过定点(0,0)
原命题得证