作业帮椭圆切线问题有标准形式的椭圆 x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 ,直线Ax+By+C=0,若该直线是椭圆的切线,求证：(Aa)^2 + (Bb)^2 = C^2(PS:我开始试着用导数证 没证出来 如果大虾能够用导数证出来 )
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 07:35:18
椭圆切线问题有标准形式的椭圆 x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 ,直线Ax+By+C=0,若该直线是椭圆的切线,求证：(Aa)^2 + (Bb)^2 = C^2(PS:我开始试着用导数证 没证出来 如果大虾能够用导数证出来 )
椭圆切线问题
有标准形式的椭圆 x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 ,直线Ax+By+C=0,若该直线是椭圆的切线,求证：(Aa)^2 + (Bb)^2 = C^2
(PS:我开始试着用导数证 没证出来 如果大虾能够用导数证出来 )
椭圆切线问题有标准形式的椭圆 x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 ,直线Ax+By+C=0,若该直线是椭圆的切线,求证：(Aa)^2 + (Bb)^2 = C^2(PS:我开始试着用导数证 没证出来 如果大虾能够用导数证出来 )
证明：
① 对椭圆方程两边同时微分：
2x dx/a² + 2y dy/b² = 0
dy/dx = -b²x/a²y
即：
y' = -b²x/a²y (y'是y对x的导数)
② 求切线的直线方程(设切点坐标是x0,y0)：
斜率k = y' = -b²x/a²y
(y - y0) = -b²x/a²y (x - x0)
b²x0x + a²y0y = b²x0² + a²y0²
b²x0x + a²y0y = a²b²
x0x/a² + y0y/b² = 1
x0x/a² + y0y/b² -1 = 0
③证明命题
由于以上方程与Ax + By + C = 0 是同一个直线方程,所以：
A = K * x0/a²
B = K * y0/b²
C = K * 1
(K 是非零实数)
(Aa)² + (Bb)² = K² * ( x0²/a + y0²/b²)
= K² = C²
证毕.
x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 ，
(b^2)(x^2)+(a^2)(y^2)=(a^2)(b^2),
(a^2)(y^2)=(a^2)(b^2))-(b^2)(x^2)
两边对x求导：
2y(a^2)y'= -2x(b^2),对切点（x0,y0):
y'=-(x0/y0)*(b^2/a^2) (1)
Ax0+By0+C=...
全部展开
x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 ，
(b^2)(x^2)+(a^2)(y^2)=(a^2)(b^2),
(a^2)(y^2)=(a^2)(b^2))-(b^2)(x^2)
两边对x求导：
2y(a^2)y'= -2x(b^2),对切点（x0,y0):
y'=-(x0/y0)*(b^2/a^2) (1)
Ax0+By0+C=0 (2)
由（1）（2）得：
x0=-ACa^2/( (Aa)^2 + (Bb)^2 ) ; y0=-BCb^2/( (Aa)^2 + (Bb)^2 )
将x0,y0带入椭圆方程得：
((Aa)^2 + (Bb)^2 ) * C^2 = ( (Aa)^2 + (Bb)^2 )^2
因为( (Aa)^2 + (Bb)^2 )不等于零，两边同除以( (Aa)^2 + (Bb)^2 )得：
(Aa)^2 + (Bb)^2 = C^2
收起