在一个锐角三角形ABC中,角B等于2倍的角C,求证：AC

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/02 22:58:17

在一个锐角三角形ABC中,角B等于2倍的角C,求证：AC
在一个锐角三角形ABC中,角B等于2倍的角C,求证：AC

在一个锐角三角形ABC中,角B等于2倍的角C,求证：AC
此题要证明AC<2AB ,那么最好就要创造一个与AB相等的线段.因为此题是一个锐角三角形,所以不可能在BC的延长线上取一与AB相等的线段（在三角形外部确实可以找到很多与AB相等的线段,但个人认为画出线段后不大好证明.),因此我们可以假设在BC线段上取一点E,使得AB=AE.此时可以得到一个三角形ACE,因此可以得到AE+CE>AC.如果CE=AE的话,那么万事大吉.在一个三角形里,如果有一个这么个形状的相等线段,你能想到什么?我们可以想到直角三角形的一个结论：斜边中线等于斜边一半.依照这个思想,过点A做AC的垂线并交BC的延长线于点D,依照这个图形,再取DC中点E,再证明△ABE是等腰三角形,就OK了.
我把推理过程写一遍：
过点A做AC的垂线并交BC的延长线于点D,并取DC中点E.
∵RT△ADC,DE=CE
∴AE=DE=CE
∴∠EAC=∠C
∵∠AEB是△AEC的外角
∴∠AEB=2∠C=∠ABC
∴AB=AE=CE
∵三角形任意两边之和大于第三边
∴AE+CE>AC
∴2AE>AC
∴2AB>AC

由正弦定理：sinB:sinC=AC:AB=sin2C:sinC=2sinCcosC:sinC=2cosC<2
所以AC<2AB