四棱锥S－ABCD的底面是正方形,SD⊥平面ABCD,SD＝2,AD＝√2,E是SD上一点.1：求证,AC⊥BE.2求二面角C－AS－D的余悬.大师解答,高分悬赏

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/04 06:33:26

四棱锥S－ABCD的底面是正方形,SD⊥平面ABCD,SD＝2,AD＝√2,E是SD上一点.1：求证,AC⊥BE.2求二面角C－AS－D的余悬.大师解答,高分悬赏
四棱锥S－ABCD的底面是正方形,SD⊥平面ABCD,SD＝2,AD＝√2,E是SD上一点.
1：求证,AC⊥BE.2求二面角C－AS－D的余悬.大师解答,高分悬赏

四棱锥S－ABCD的底面是正方形,SD⊥平面ABCD,SD＝2,AD＝√2,E是SD上一点.1：求证,AC⊥BE.2求二面角C－AS－D的余悬.大师解答,高分悬赏
1.证明：连结AC.BD
由于底面是正方形,所以：AC⊥BD
因为SD⊥平面ABCD,AC在平面ABCD内
所以：SD⊥AC
这就是说AC垂直于平面SBD内的两条相交直线BD.SD
则AC⊥平面SBD
又BE在平面SBD内,所以：
AC⊥BE
2.过点D作DF⊥SA,垂足为F,连结FC
因为SD⊥平面ABCD,所以：SD⊥CD
又CD⊥AD,所以：
CD⊥平面SAD
则CF在平面SAD内的射影为DF
因为DF⊥SA,所以：三垂线定理可得CF⊥SA
则∠CFD就是二面角C－AS－D的平面角
在Rt△SAD中：SD=2,AD=√2,则由勾股定理得SA=√6
又SRt△SAD=(1/2)×SD×AD=(1/2)×DF×SA
则有：DF=SD×AD/SA=2(√3)/3
所以在Rt△CFD中,CD=√2,由勾股定理有：
CF=√(CD²+DF²)=√(2+4/3)=(√30)/3
所以：cos∠CFD=DF/CF=[2(√3)/3]/[(√30)/3]=(√10)/5
即二面角C－AS－D的余弦值为(√10)/5

全部展开

法一（Ⅰ）连接BD．因为底面ABCD是正方形，
所以AC⊥BD．因为SD⊥平面ABCD，
AC⊂平面ABCD，所以AC⊥SD．（2分）
又因为SD∩BD=D，所以AC⊥平面BDS．（4分）
因为BE⊂平面BDS，所以AC⊥BE．（6分）
（Ⅱ）因为SD⊥平面ABCD，所以SD⊥CD．
因为底面ABCD是正方形，所以AD⊥CD．
又因为SD∩AD=D，所以CD⊥平面SAD，
所以CD⊥AS．（8分）
过点D在平面SAD内作DF⊥AS于F，连接CF．
由于，DF∩CD=D，所以AS⊥平面DCF．所以AS⊥CF．
故∠CFD是二面角C-AS-D的平面角．（10分）
在Rt△ADS中，SD=2，AD=2，可求得DF=233．
在Rt△CFD中，DF=233，CD=2，可求得CF=303．
所以cosCFD=DFCF=105．即二面角C-AS-D的余弦值为105．（12分）
法二：（Ⅰ）如图以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz．
则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），
C（0，2，0），E（0，0，2），S（0，0，2），
AC→=(-2，2，0)，BE→=(-2，-2，2)．（3分）
AC→•BE→=2-2+0=0，所以AC→⊥BE→．即AC⊥BE．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得SA→=（2，0，-2），SĈ=（0，2，-2）．
设平面ACS的法向量为n→=（x，y，z），
则由n⊥SA→，n⊥SC→得{n→•SA→=0n→•SC→=0，即{2x-2z=02y-2z=0
取z=2，得n→=(2，2，2)．（9分）
易知平面ASD的一个法向量为DC→=（0，2，0）．
设二面角C-AS-D的平面角为θ．则cosθ=n→•DC→|n→||DC→|=105．
即二面角C-AS-D的余弦值为105．（12分）

收起

因为SD垂直面ABCD，所以SD垂直AC 又因为ABCD为正方形，所以AC垂直BD，所以AC垂直面SBD（和俩条相交直线垂直则和面垂直）所以AC⊥BE（和面垂直则和面内直线垂直）