作业帮函数化简函数f(x）=sin2x+2倍根号2乘以cos(π/4+x)+3的最小值.这个式子怎么化到最简啊急.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 14:39:19
函数化简函数f(x）=sin2x+2倍根号2乘以cos(π/4+x)+3的最小值.这个式子怎么化到最简啊急.
函数化简
函数f(x）=sin2x+2倍根号2乘以cos(π/4+x)+3的最小值.
这个式子怎么化到最简啊急.
函数化简函数f(x）=sin2x+2倍根号2乘以cos(π/4+x)+3的最小值.这个式子怎么化到最简啊急.
f(x）=sin2x+2倍根号2乘以cos(π/4+x)+3
=sin2x+2倍根号2 X (2分之根号2cosx-2分之根号2sinx)+3
=2sinxconx+2cosx-2sinx+3
f(x)=sin2x+2√2cos(π/4+x)+3
=2sinxcosx+2√2cos(π/4+x)+3
=(sinx+cosx)^2+2√2cos(π/4+x)+2
=2sin(π/4+x)^2+2√2cos(π/4+x)+2
=-2cos(π/4+x)^2+2√2cos(π/4+x)+4
=-2[cos(π/4+x)-√2/2]^2+5
x=3π/4时，f(x)最小=5-2(-1-√2/2)^2=5-2(3/2+√2)=2-2√2
f(x)=sin2x+2√2 cos(π/4+x)+3=2sinxcosx+2√2 (√2/2 cosx-√2/2 sinx)+3=2sinxcosx+2cosx-2sinx+3=2(cosxsinx+cosx-sinx)+3
只能化解成这样了，再就是你可以用换元法去求解最小值
Mathematica软件轻松解决，代码： f = Sin[2 x] + 2 Sqrt[2] Cos[Pi/4 + x] + 3 TrigExpand[f] 得出式子的化简：3 + 2 Cos[x] - 2 Sin[x] + 2 Cos[x] Sin[x] Plot[f, {x, -3 Pi, 3 Pi}] (*查看函数图像*) FindMinimum[f, {x, -3 Pi, 3 Pi}] (*得出最小值*) {-0.828427, {x -> -10.2102}} 即x=-10.2102时，函数f(x)取最小值-0.828427
f(x）=sin2x+2倍根号2乘以cos(π/4+x)+3
=sin2x+2倍根号2 X (2分之根号2cosx-2分之根号2sinx)+3
=2sinxconx+2cosx-2sinx+3
=2sinxconx+2(cosx-sinx)+3
令cosx-sinx=t，两边平方得，
1-2sinxconx=t^2，...
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f(x）=sin2x+2倍根号2乘以cos(π/4+x)+3
=sin2x+2倍根号2 X (2分之根号2cosx-2分之根号2sinx)+3
=2sinxconx+2cosx-2sinx+3
=2sinxconx+2(cosx-sinx)+3
令cosx-sinx=t，两边平方得，
1-2sinxconx=t^2，则 2sinxconx=1+t^2
于是f(x)=t^2+2t+4=(t+1)^2+3
由于t=cosx-sinx
=根号2乘以(2分之根号2cosx-2分之根号2sinx)
=根号2乘以sin(4分之π-x)
又因为负1小于等于sin(4分之π-x)小于等于正1
所以负根号2小于等于t小于等于正根号2
所以当t=-1时，f(x)有最小值3
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