设a、b、c∈正整数,求证:[根号(a^2+b^2)]+[根号(b^2+c^2)]+[根号(c^2+a^2)]≥（根号2）×(a+b+c).

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/11 16:46:57

设a、b、c∈正整数,求证:[根号(a^2+b^2)]+[根号(b^2+c^2)]+[根号(c^2+a^2)]≥（根号2）×(a+b+c).
设a、b、c∈正整数,求证:[根号(a^2+b^2)]+[根号(b^2+c^2)]+[根号(c^2+a^2)]≥（根号2）×(a+b+c).

设a、b、c∈正整数,求证:[根号(a^2+b^2)]+[根号(b^2+c^2)]+[根号(c^2+a^2)]≥（根号2）×(a+b+c).
由于(a-b)^2>=0
所以a^2+b^2>=2ab
两边同加a^2+b^2
2(a^2+b^2)>=(a+b)^2
开根号即（根号2）[根号(a^2+b^2)]>=a+b
即[根号(a^2+b^2)]>=(根号2/2)(a+b)
同理[根号(b^2+c^2)]>=(根号2/2)(b+c)
[根号(c^2+a^2)]>=(根号2/2)(c+a)
以上三式相加得证

根号[(a^2+b^2)/2]≥(a+b)/2
同理
根号[(b^2+c^2)/2]≥(b+c)/2
根号[(c^2+a^2)/2]≥(c+a)/2
以上三式相加即可

全部展开

【设x,y>0,(x-y)2≥0,===>x2-2xy+y2≥0.===>x2+y2≥2xy.===>2(x2+y2)≥x2+2xy+y2.===>2(x2+y2)≥(x+y)2.===>√[2(x2+y2)]≥x+y.】证明：由√【2（x2+y2)]≥x+y(x,y>0)可知，当a,b,c＞0时，有√[2(a2+b2)]≥a+b,√[2(b2+c2)]≥b+c,√[2(c2+a2)]≥c+a.三式相加可得(√2)[√(a2+b2)+√(b2+c2)+√(c2+a2)]≥2(a+b+c).===>√(a2+b2)+√(b2+c2)+√(c2+a2)≥(√2)(a+b+c).等号仅当a=b=c>0时取得。

收起

设a、b、c∈正整数,求证:[根号(a^2+b^2)]+[根号(b^2+c^2)]+[根号(c^2+a^2)]≥（根号2）×(a+b+c). 设abc为正整数,求证1/a^3+1/b^3+1/c^3+abc>=2倍根号三设a>0,b>0,2c>a+b,求证:c-根号下(c^2 - ab) 设a>b>c且a+b+c=0,求证根号b平方—ac 设正整数a,b,c满足1 设a,b,c∈(0,1) 求证a+b 设abc为实数求证根号a²+b²+根号b²+c²+根号c²+a²≥根号2(a+b+c) 设a、b、c大于等于0,a+b+c=3求证：根号a+根号b+根号c大于等于ab+bc+ca 设a,b,c属于正实数,求证根号下（a+b）+根号下（b+c）＞根号下（c+a）已知a,b,c都是正数,a+b+c=1,设t=(根号3a+2)+(根号3b+2)+( 根号3c+2),求证:t a,b,c,d是正整数.设b不等于d且(a,b)=(c,d)=1,求证a/b+c/d不是整数. 设a>c,b>c>0,求证：根号下(a+c)(b+c) + 根号下(a-c)(b-c) 小于等于 2根号下ab设a>c,b>c>0,求证：根号下(a+c)(b+c) + 根号下(a-c)(b-c) 小于等于 2倍根号下ab 设a>b>0,求证根号（a^2-b^2)+根号(ab-b^2)>根号a*(根号a-根号b) 几道高二数学不等式的证明题1.设a>b>c且a+b+c=0,求证:根号（b^2-ac）＜根号3*a2.若a,b∈R+,求证:1/2a+1/2b≥2/(a+b)3.若│a│a+b,求证:c-根号(c^2-ab) 设a,b,c是连续正整数,且b不能被2整除,求证c^c-a^a能被b整除. 高二不等式的证明(3)(1)已知a,b,c∈正整数,求证:根号下(a的平方+ab+b的平方)+根号下(b的平方-bc+c的平方)+根号下(c的平方-ca+a的平方)≥a+b+c(2)已知a,b,c∈正整数,y∈{-2,2],求证:根号下(a的平方+yab+b的设a大于b大于c,且a加b加c等于零,求证:根号下b的平方减a乘以c小于根号三乘以a 设a.b.c是正整数,且满足a