作业帮高数大神进!快期末了!设f（x） 在[0,1]上连续且单调减少,证明：对任意a∈（0,1）,有∫（0到a） f（x）dx＞a∫（0到1）f（x） dx.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/07 13:44:56
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高数大神进!快期末了!设f（x） 在[0,1]上连续且单调减少,证明：对任意a∈（0,1）,有∫（0到a） f（x）dx＞a∫（0到1）f（x） dx.
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设f（x） 在[0,1]上连续且单调减少,证明：对任意a∈（0,1）,有∫（0到a） f（x）dx＞a∫（0到1）f（x） dx.
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设F(t)=1/t×∫(0到t）f(x)dx,0＜t≤1.
由积分中值定理,存在y∈(0,t),使得∫(0到t）f(x)dx=t*f(y).
F'(t)=[t*f(t)-∫(0到t）f(x)dx]/t^2=[t*f(t)-t*f(y)]/t^2=[f(t)-f(y)]/t＜0
所以F(t)单调减少,所以F(t)＞F(1)=∫(0到1）f(x)dx,即∫(0到t) f(x)dx ＞ t∫(0到1) f(x)dx.
所以对于任意的a∈(0,1),有∫(0到a) f(x)dx ＞ a∫(0到1) f(x)dx.
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