将一把三角尺放在边长为一的正方形ABCD上,并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动,直角的一边始终经过点B.另将一把三角尺放在边长为一的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/28 00:35:26

将一把三角尺放在边长为一的正方形ABCD上,并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动,直角的一边始终经过点B.另将一把三角尺放在边长为一的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，
将一把三角尺放在边长为一的正方形ABCD上,并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动,直角的一边始终经过点B.另
将一把三角尺放在边长为一的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B.另一边与射线DC相交与点Q!探究设A.P两点间的距离为x！第一问，当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有什么关系！证明步骤写清楚！第二问，当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域！第三问，当点P在线段AC上滑动时，三角形PCQ是否可能成为等腰三角形，如果可能，指出有能使三角形PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值！

将一把三角尺放在边长为一的正方形ABCD上,并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动,直角的一边始终经过点B.另将一把三角尺放在边长为一的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，
证明：(1)连BQ,因∠BCQ与∠BPQ互补,PBCQ四点共圆
∠PQB=∠PCB=45° 故PB=PQ.或连PD,先证△PCB≅△PCD
(SAS)得PB=PD  ∠PBC=∠PDC    因为∠PBC与∠PQC互补(用四边形内角和等于360度),
∠PQD和∠PQC互补(平角等于180度)
得∠PQD=∠PBC=∠PDQ得PD=PQ=PB
(2)由余弦定理得：PB=√((1^2)+(x^2)-2×1×x×(√(2)/2))=√((x^2)-√(2)x+1)
BQ=√(2)PB=√(2)×√((x^2)-√(2)x+1)=√(2((x^2)-√(2)x+1))
CQ=√((BQ^2)-(BC^2))=√(((√(2)X-1)^2))=1-√(2)X(X≤√(2)/2)
∴S△PBQ=(PB^2)/2=((x^2)-√(2)x+1)/2
∴S△BCQ=CQ×BC/2=(1-√(2)X)/2
S四边形PBCQ=S△PBQ+S△BCQ
∴y=((x-√(2))^2)/2(0≤x≤√(2)/2)
当Q在DC延长线上时：延长BP交CD于G,
△PAB∼△PCG
AB/GC=AP/PC   1/GC=X/(√(2)-X)⇒GC=(√(2)-X)/X⇒(GC^2)=([(√(2)-X)/X]^2)
(BG^2)=(1^2)+([(√(2)-X)/X]^2)
∴S△GPC=(1/2)×(√(2)-X)×[(√(2)-X)/X]×(√(2)/2)=[((√(2)-X)^2)√(2)]/4x
S△GQB/S△GPC=(GC^2)/(BG^2)={(1^2)+([(√(2)-X)/X]^2)}/([(√(2)-X)/X]^2)
∴S△GQB=[√(2)((x^2)-√(2)x+1)]/2x
∴S四边形BPCQ=S△GQB-S△GPC=√(2)x/4
即y=√(2)x/4(√(2)/2≤x≤√(2))
(3)因∠BPQ=∠BCQ=90°得BPCQ四点共圆得∠PQB=∠PCB=45°
故PB=PQ
(不用四点共圆同样可用全等相似及等腰证PB=PD=PQ)
△PCQ为等腰三角形只有一种可能：CQ=CP
此时∠CPQ=∠CQO=∠DCA/2=45/2=22.5°
∠APB=180-90-22.5=67.5°
∠ABP=180-45-67.5=67.5°
∴∠ABP=∠APB
∴AP=AB=1
CQ=CP=AC-AB=√(2)-1
则x=1    CQ=√(2)-1