利用空间向量证明线面平行

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/30 20:37:49

利用空间向量证明线面平行
利用空间向量证明线面平行

利用空间向量证明线面平行
证明如下：以OB为x轴,OC为y轴,OP为z轴建立空间直角坐标系,
因为△ABC为等腰直角三角形,AC=16,所以OB=OC=8,OG=4,
又因为PA=PC,所以△PAC为等腰三角形,O为AC中点,所以PO⊥AC,PO=6
有题可知,面PAC⊥面ABC,所以PO⊥OB,所以△POB为直角三角形
所以O（0,0,0）,B（8,0,0）,E（0,-4,3）,F（4,0,3）,G（0,4,0）,向量GF=（4,-4,3）
所以设面BOE的法向量为向量n=（x,y,z）,所以有8x=0,-4y+3z=0,解得向量n=（0,3,4）
因为向量GF·向量n=0-12+12=0,所以向量GF⊥向量n,
又因为向量n是面BOE的法向量,即向量n⊥平面BOE,
所以向量GF∥平面BOE,即FG∥平面BOE

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