∫ln(1+√(1+x)/x)dx=

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/27 11:18:06
∫ln(1+√(1+x)/x)dx=

∫ln(1+√(1+x)/x)dx=
∫ln(1+√(1+x)/x)dx=

∫ln(1+√(1+x)/x)dx=
∫ln((1+√(1+x))/x)dx
=∫[ln(1+√(1+x))-lnx]dx
=∫ln(1+√(1+x))dx-∫lnxdx
分部积分
=xln(1+√(1+x))-∫x/[2(1+√(1+x))√(1+x)] dx- xlnx+∫ 1 dx
=xln(1+√(1+x))-(1/2)∫ x/[√(1+x)+1+x] dx- xlnx+x
令√(1+x)=u,则1+x=u²,dx=2udu
=xln(1+√(1+x))-∫ (u²-1)u/(u+u²) du- xlnx+x
=xln(1+√(1+x))-∫ (u²-1)/(1+u) du- xlnx+x
=xln(1+√(1+x))-∫ (u-1)du- xlnx+x
=xln(1+√(1+x))-(1/2)u²+u - xlnx+x
=xln(1+√(1+x))-(1/2)(1+x)+√(1+x) - xlnx+x+C
=xln(1+√(1+x))+(x/2)+√(1+x)-xlnx+C1

∫ln{[1+√(1+x)]/x}dx=∫ln[1+√(1+x)]dx-∫lnxdx=∫ln[1+√(1+x)]dx-xlnx+x
令1+√(1+x)=u，则1+x=(u-1)²，dx=2(u-1)du，
故其中∫ln[1+√(1+x)]dx=∫(lnu)[2(u-1)]du=2[∫ulnudu-∫lnudu]=∫lnud(u²)-2(ulnu-u)
=...

全部展开

∫ln{[1+√(1+x)]/x}dx=∫ln[1+√(1+x)]dx-∫lnxdx=∫ln[1+√(1+x)]dx-xlnx+x
令1+√(1+x)=u，则1+x=(u-1)²，dx=2(u-1)du，
故其中∫ln[1+√(1+x)]dx=∫(lnu)[2(u-1)]du=2[∫ulnudu-∫lnudu]=∫lnud(u²)-2(ulnu-u)
=u²lnu-∫udu-2(ulnu-u)=u²lnu-(u²/2)-2(ulnu-u)=(u²-2u)lnu-(u²/2)+2u
[将u=1+√(1+x)代入并化简得：]
=xln[1+√(1+x)]+√(1+x)-(x/2)+1
故∫ln{[1+√(1+x)]/x}dx=xln[1+√(1+x)]+√(1+x)-(x/2)+1-xlnx+x+C₁
=xln[1+√(1+x)]+√(1+x)+(x/2)-xlnx+C (其中C=C₁+1)

收起

∫(ln ln x + 1/ln x)dx ∫ln(1+√(1+x)/x)dx= ∫ln(1+√x)dx ∫x*ln(x²+1)dx ∫x*ln(x-1)dx ∫x* ln (x-1) dx ∫(ln(x+2)-ln(x+1))/(x^2+3x+2)dx= 求∫ ln(1+√x)/√x dx ∫ln(x+1)/√x+1dx求不定积分 求不定积分∫ln(x+√(x^2+1))dx 求不定积分：∫ ln(x+√(1+x^2) )dx 定积分∫ ln(√1+x^2+x)dx 不定积分 ：∫ ln(x+√1+x^2) dx ∫ln(x+√(x^2-1)dx, 计算∫x*ln(1+x^2)dx= ∫（e,1） (ln x/x)dx=? ∫x³ln(1-x)dx= ∫dx/x（1+ln平方x）=?