作业帮求证一道关于垂心的几何证明题!
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/07 04:26:48
求证一道关于垂心的几何证明题!
求证一道关于垂心的几何证明题!
求证一道关于垂心的几何证明题!
看上去挺怵的,无从下手,我只好用三角方法证明如下：
设AB边上的高为CM,AC边的高为BN,BC=a,∠BAC=A,∠ABC=B,∠ACB=C,∠MDH=X,
则∠DHE=A,∠ABN=∠ACM=90°-A,
∵∠MDH=∠DAH+∠DHA,∠NEH=∠EAH+∠EHA,
∴∠MDH+∠NEH=∠DAH+∠DHA+∠EAH+∠EHA=2A,
∴∠NEH=2A-X
以下求得各线段的长度：
BM=BCcosB, CN=BCcosC
HM=BMtan(90°-A)=BCcosBcotA,HN=CNtan(90°-A)=BCcosCcotA
DH=HM/sinX=BCcosBcotA/sinX,EH=HN/sin(2A-X)=BCcosCcotA/sin(2A-X)
DM=HMcotX=BCcosBcotAcotX,EN=HNcot(2A-X)=BCcosCcotAcot(2A-X)
∵DH=EH,∴BCcosBcotA/sinX=BCcosCcotA/sin(2A-X),∴cosB/cosC=sin(2A-X)/sinX
BD=BM+DM=BCcosB(1+cotAcotX),CE=CN+EN=BCcosC(1+cotAcot(2A-X))
∴BD/CE=[cosB(1+cotAcotX)]/[cosC(1+cotAcot(2A-X))]=[cosB/cosC][(1+cotAcotX)/(1+cotAcot(2A-X))]=[sin(2A-X)/sinX][(1+cotAcotX)/(1+cotAcot(2A-X))]=[cosAcosX+sinAsinX][cos(2A-x)cosA+sin(2A-X)sinA]=cos(A-X)/cos[(2A-X)-A]=1
∴BD=CE