(ii) 设A,B为n阶方阵,r(AB)=r(B),证明对于任意可以相乘的矩阵C均有r(ABC)=r(BC).

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/03 19:34:52
(ii) 设A,B为n阶方阵,r(AB)=r(B),证明对于任意可以相乘的矩阵C均有r(ABC)=r(BC).

(ii) 设A,B为n阶方阵,r(AB)=r(B),证明对于任意可以相乘的矩阵C均有r(ABC)=r(BC).
(ii) 设A,B为n阶方阵,r(AB)=r(B),证明对于任意可以相乘的矩阵C均有r(ABC)=r(BC).

(ii) 设A,B为n阶方阵,r(AB)=r(B),证明对于任意可以相乘的矩阵C均有r(ABC)=r(BC).
证明:分两步
(1) ABX=0 与 BX=0 同解
显然,BX=0 的解都是 ABX=0 的解
所以BX=0的基础解系可由ABX=0的基础解系线性表示.
由已知 r(B)=r(AB)
所以两个基础解系所含向量个数相同
故两个基础解系等价
[若两个向量组的秩相同,且其中一个可由另一个线性表示,则两个向量组等价]
所以ABX=0的解也是BX=0的解
即两个齐次线性方程组同解.
(2) ABCX=0 与 BCX=0 同解
显然有:BCX=0 的解都是 ABCX=0 的解
反之,设X1是ABCX=0的解
则 ABCX1=0.
即 AB(CX1)=0.CX1是ABX=0的解
由(1)知CX1也是BX=0的解
即有 BCX1=0
所以X1也是BCX=0的解
所以 (2)成立.
[同解齐次方程组的系数矩阵的秩相同]
故 r(ABC)=r(BC).