已知X1=4,X2=12,Xn=4X(n-1) - 4X(n-2)(n=3,4,5...).求数列Xn 的通项公式和Sn.其中n,n-1,n-2是下标

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 06:21:51

已知X1=4,X2=12,Xn=4X(n-1) - 4X(n-2)(n=3,4,5...).求数列Xn 的通项公式和Sn.其中n,n-1,n-2是下标
已知X1=4,X2=12,Xn=4X(n-1) - 4X(n-2)(n=3,4,5...).求数列Xn 的通项公式和Sn.其中n,n-1,n-2是下标

已知X1=4,X2=12,Xn=4X(n-1) - 4X(n-2)(n=3,4,5...).求数列Xn 的通项公式和Sn.其中n,n-1,n-2是下标
n≥3
∵Xn=4X(n-1) - 4X(n-2)
∴xn-2x(n-1)=2x(n-1)-4x(n-2)=2[x(n-1)-2x(n-2)]
∴[xn-2x(n-1)]/[x(n-1)-2x(n-2)] = 2
∴数列{xn-2x(n-1)}是等比数列,公比为2
首项为x2-2x1=12-8=4
∴n≥2时,
xn-2x(n-1)=(x2-x1)*2^(n-2)
=4*2^(n-2)=2^n
即xn-2x(n-1)=2^n
两边同时除以2^n
∴xn/2^n -x(n-1)/2^(n-1)=1
∴{xn/2^n}为等差数列,公差为1
∴xn/2^n=x1/2+(n-1)=n+1
∴xn=(n+1)*2^n
Sn=2*2+3*4+4*8+.+(n+1)*2^n ①
2Sn=2*4+3*8+4*16+.+n*2^n+(n+1)*2^(n+1) ②
①-②:
-Sn=4+4+8+16+.+2^n-(n+1)*2^(n+1)
=4+4[(2^(n-1)-1]-(n+1)*2^(n+1)
=2^(n+1)-(n+1)*2^(n+1)
=-n*2^(n+1）
∴Sn=n*2^(n+1)

全部展开

Xn－2X(n－1)＝2(X(n－1)－X(n－2))，
Xn－2X(n－1)是以X2－2X1＝4为首项，以2为公比的等比数列，
Xn－2X(n－1)＝4×2^(n－2)＝2^n。于是
Xn－ 2X(n－1)＝2^n，
2X(n－1)－2^2X(n－2)＝2^n
2^2X(n－2)－2^3X(n－3)＝2^n.....
2^(n－2)X2－2^(n－1)X1＝2^n，
相加得
Xn＝(n－1)*2^n+2^(n－1)X1＝(n+1)*2^n。
经验证，上式对所有的n成立。
Sn＝2*2+3*2^2+4*2^3+....+(n+1)*2^n，
2Sn＝ 2*2^2+3*2^3+.....+n*2^n+(n+1)*2^(n+1)，
两式相减得
－Sn＝4+2^2+2^3+....+2^n－(n+1)*2^(n+1)，因此Sn＝n*2^(n+1)。

收起

Xn =（n+1）乘以2的n次方
Sn=n乘以（2的n次方）

全部展开

x3=4x2-4x1=4×12-4×4=32
n≥3时，
xn=4x(n-1)-4x(n-2)
xn-2x(n-1)=2x(n-1)-4x(n-2)=2[x(n-1)-2x(n-2)]
[xn-2x(n-1)]/[x(n-1)-2x(n-2)]=2，为定值。
x2-2x1=12-2×4=4
数列{x(n+1)-2xn}是以4为首项，2为公比的等比数列。
x(n+1)-2xn=4×2^(n-1)=2^(n+1)
x(n+1)=2xn+2^(n+1)
等式两边同除以2^(n+1)
x(n+1)/2^(n+1)=xn/2^n +1
x(n+1)/2^(n+1) -xn/2^n=1，为定值。
x1/2^1=4/2=2
数列{xn/2^n}是以2为首项，1为公差的等差数列。
xn/2^n =2+(n-1)=n+1
xn=(n+1)×2ⁿ
n=1时，x1=(1+1)×2=4，满足；n=2时，x2=(2+1)×2²=3×4=12，满足。
n=3时，x3=(3+1)×2³=4×8=32，满足。
综上，得数列{xn}的通项公式为xn=(n+1)×2ⁿ

xn=(n+1)×2ⁿ=n×2ⁿ+2ⁿ
Sn=x1+x2+...+xn=(1×2+2×2²+3×2³+...+n×2ⁿ)+(2+2+...+2ⁿ)
令Cn=1×2+2×2²+3×2³+...+n×2ⁿ
则2Cn=1×2²+2×2³+...+(n-1)×2ⁿ+n×2^(n+1)
Cn-2Cn=-Cn=2+2²+2³+...+2ⁿ-n×2^(n+1)
Cn=n×2^(n+1) -(2+2²+...+2ⁿ)

Sn=Cn+(2+2+...+2ⁿ)
=n×2^(n+1) -(2+2²+...+2ⁿ)+(2+2²+...+2ⁿ)
=n×2^(n+1)

收起

已知数列{xn}满足x1=3,x2=x1/2,...,xn=1/2(xn-1+xn-2),n=3,4,...,则xn等于已知X1=4,X2=12,Xn=4X(n-1) - 4X(n-2)(n=3,4,5...).求数列Xn 的通项公式和Sn.其中n,n-1,n-2是下标已知x1,x2,…,xn的取值都是+1或-1,并且x1/x2+x2/x3+x3/x4+…+xn-1/xn+xn/x1=0,求证n必为4的倍数已知n个正整数x1,x2,x3,……,xn满足x1+x2+x3+…+xn=2008,求这n个数的乘积的最大值.为什么x1,x2,x3,……,xn中没有大于等于4的? 已知数列{Xn}满足X2=X1/2,Xn=1/2(Xn-1+ Xn-2),n=3,4,…,若n趋于无穷大Xn趋于2,则X1的值是多少?最简便的方法是什么呢? 已知数列xn满足x1=4 x(n+1)=(xn^2-3)/(2xn-4)（1）求证 xn>3 （2）求证 x(n+1) 已知x1、x2……xn是实数,x1+x2+……+xn=0,求证不等式x1x2+x2x3+x3x4+……+xn-1x1≤0在n=3,4时成立；n≥5时不成立 1.已知x+3y分之2x-y等于2,求代数式x+3y分之4x-2y减去2x-y分之4x+12y的值.2.一列数：X1、X2、X3、..一列数：X1、X2、X3、......、Xn、Xn+1、......其中X1=3（1）如果对任意的n，有Xn+1=Xn+2计算X2=（）X3=（）X4 设有整数x1,x2,……xn,使x1+x2+……+xn=0,x1x2……xn=n,证明：4|n 设有x1,x2……xn,满足x1+x2+……xn=0,x1x2……xn=n,证明 n可被4整除已知X1*X2*X3*…*Xn=1,且X1*X2*X3*…*Xn是正数 ,求证(1+X1)(1+X2)…(1+Xn)>=2^n 如何解柯西不等式已知X1,X2,...Xn是正数求证：（X1+X2+..=Xn）(1/X1+1/X2+...+Xn）小于等于N^2 不等式证明求解已知:正数x1,x2,x3……xn 满足x1+x2+x3+……+xn=1已知:正数x1,x2,x3……xn 满足x1+x2+x3+……+xn=1求证:1/(x1*(1-x1^3)+1/(x2*(1-x2^3)+1/(x3*(1-x3^3)+……+1/(xn*(1-xn^3)>4 Xi>=0,X1+X2...+Xn=1,n>=2,求证X1X2(X1+X2)+...+X1Xn(X1+Xn)+X2X3(X2+X3)...Xn-1Xn(Xn-1+Xn) X1+X2+X3+...+Xn=1 X1,X2,X3,...,Xn 为n个非负实数,n>=4求X1*X2+X2*X3+X3*X4+...X(n-1)*Xn+Xn*X1的最大值.我觉得答案应该是1/4,最好不要用定理那些东西至今还是没正确答案！设有N个实数X1,X2,...,XN,其中每一个数不是+1就是-1,且X1/X2+X2/X3+...+XN-1/XN+XN/X1=0,求证：N是4的倍已知数列Xn limXn=a 求证：lim（X1+X2+X3+.+Xn）/n=a 设整数n>=2,正实数x1,x2,……xn满足(x1+x2+……xn)(1/x1+1/x2+……1/xn)=n^2+1求证：（x1^2+x2^2+……+xn^2）(1/x1^2+1/x2^2+……+1/xn^2)>=n^2+4+2/n(n-1)