如图,△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于点D,求证:BC2=2AC•CD. (要求用三种方法解题)

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/02 06:57:11
如图,△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于点D,求证:BC2=2AC•CD. (要求用三种方法解题)

如图,△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于点D,求证:BC2=2AC•CD. (要求用三种方法解题)
如图,△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于点D,求证:BC2=2AC•CD. (要求用三种方法解题)

如图,△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于点D,求证:BC2=2AC•CD. (要求用三种方法解题)
证明:
延长CA到E,CA=AE,
则有∵AB=AC,∴AB=12CE.
∴△CBE是直角三角形.
∴∠CBE是直角(一边上的中线等于这一边长的一半的三角形是直角三角形).
∴△BCD∽△ECB.
∴BC2=EC•CD=2AC•CD.
作AE⊥BC于E,
则有△ACE∽△BCD.
得CECD=ACBC.
即CE•BC=CD•AC.
从而得:BC2=2AC•CD.
在DA上截取DE=DC,
则有△BCE∽△ACB.
得BCAC=CEBC=2CDBC.
从而BC2=2AC•CD.