作业帮焦点在x轴上的椭圆离心率为二分之根号三,并且椭圆与(x-2)^+(y-1)^=5/2交于A,B两点,线段AB的长等于圆的直径1,求直线AB的方程2,求椭圆的方程
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 13:21:17
焦点在x轴上的椭圆离心率为二分之根号三,并且椭圆与(x-2)^+(y-1)^=5/2交于A,B两点,线段AB的长等于圆的直径1,求直线AB的方程2,求椭圆的方程
焦点在x轴上的椭圆离心率为二分之根号三,并且椭圆与(x-2)^+(y-1)^=5/2交于A,B两点,线段AB的长等于圆的直径
1,求直线AB的方程
2,求椭圆的方程
焦点在x轴上的椭圆离心率为二分之根号三,并且椭圆与(x-2)^+(y-1)^=5/2交于A,B两点,线段AB的长等于圆的直径1,求直线AB的方程2,求椭圆的方程
1.由题意得e=√3/2,所以c²=0.75a²,所以b²=0.25a²,所以设椭圆为 x²+4y²=a²,因为线段AB的长等于圆的直径,所以直线AB必过P（2,1）,设
直线AB为y-1=k(x-2),y-1=k(x-2)与x²+4y²=a²联立得（1+4k²)x²-4(4k²-2k)x
+4(2k-1)²=0,由题意可知P必为线段AB中点,设A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2
=4=4(4k²-2k)/（1+4k²),所以k=-(1/2),所以直线AB的方程是x+2y-4=0
2,由题1得y1+y2=2,x+2y-4=0 与x²+4y²=a²联立得8y²-8y+16-a²=0,AB²=[1+(-2)]*[(y1+y2)²-4y1*y2]=5*[4-（16-a²)/2]=(2√(5/2))²=10,所以a²=12,
b²=0.25a²=3,所以椭圆的方程为x²/12+y²/3=1
1设AB中点为M,则M为圆心，坐标为（2，1），
弦AB为圆直径长为根号10
设椭圆的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1
设A,B坐标分别为（x1,y1),(x1,y2)
将其代入椭圆的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1
得（x1）^2/a^2+（y1）^2/b^2=1
（x2）^2/a^2+（y2）^2/b^2=1
两式两边相减...
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1设AB中点为M,则M为圆心，坐标为（2，1），
弦AB为圆直径长为根号10
设椭圆的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1
设A,B坐标分别为（x1,y1),(x1,y2)
将其代入椭圆的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1
得（x1）^2/a^2+（y1）^2/b^2=1
（x2）^2/a^2+（y2）^2/b^2=1
两式两边相减并整理得
kAB*kOM=-b^2/a^2
椭圆离心率e=c/a=(根号3)/2
b^2/a^2=1-e^2=1-3/4=1/4，kOM=1/2,代入kAB*kOM=-b^2/a^2，得
kAB=-1/2,有点斜式得直线AB的方程
y-1=-(1/2)(x-2),即x+2y-4=0
2由1中b^2/a^2=1-e^2=1-3/4=1/4，即a^2=4b^2
把直线AB的方程x+2y-4=0与椭圆的方程x^2+4y^2=4b^2联立消去y得
x^2-4x+8-2b^2=0
其二根x1,x2满足x1+x2=2*2=4
由弦长公式得弦AB为圆直径长为{根号[1+
（kAB）^2]}*|x1-x2|={根号[1+
（-1/2）^2]}*根号[16-4(8-2b^2)]=根号10
解得b^2=3,a^2=4b^2=12,所求椭圆的方程为
x^2/12+y^2/3=1
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