求微分方程（x2+y2）dx=xydy的通解x2是x的平方.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/26 13:43:43

求微分方程（x2+y2）dx=xydy的通解x2是x的平方.
求微分方程（x2+y2）dx=xydy的通解
x2是x的平方.

求微分方程（x2+y2）dx=xydy的通解x2是x的平方.
令：u=y/x
则：y=xu dy/dx=u+xdu/dx
由：(x^2+y^2)dx=xydy
dy/dx=(x^2+y^2)/xy=x/y + 1/[x/y]
dy/dx=u+xdu/dx=u+1/u
xdu/dx=1/u
udu=1/x dx
1/2 u^2=ln|x| +c1
u=y/x= [ln(x^2) +c)]^(1/2)
y=x[ln(x^2) +c)]^(1/2)

（x2+y2）dx=xydy——》dy/dx=（x2+y2）/xy——》dy/dx=（1+y2/x2）/(y/x)
令u=y/x,y'=u+u'x,代入上式得
u+u'x=（1+u2）/u——》u2+uxu'=1+u2——》uxu'=1——》udu=1/xdx——》
1/2u2=lnx+1/2c——》u=√（2lnx+c）——》y=ux=x√（2lnx+c)

一阶微分方程其实最大用的技巧就是变量的代换！！一般稍微复杂点的一阶微分方程都用到变量的代换。。。不过代换也有技巧，不同的形式代换不同，你这个题目只是dy/dx=f（y/x）的一类题型！！上面几位做的都是正解，希望能够帮到你更好的理解，并运用到以后的求解微分方程的题目当中！！...

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一阶微分方程其实最大用的技巧就是变量的代换！！一般稍微复杂点的一阶微分方程都用到变量的代换。。。不过代换也有技巧，不同的形式代换不同，你这个题目只是dy/dx=f（y/x）的一类题型！！上面几位做的都是正解，希望能够帮到你更好的理解，并运用到以后的求解微分方程的题目当中！！

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