三个连续正整数,中间一个完全是完全平方数,将这样的三个连续正整数的积称为“美妙数”,问所有小于2008三个连续正整数,中间一个是完全平方数,将这样的三个连续正整数的积称为“美妙数

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 07:01:40

三个连续正整数,中间一个完全是完全平方数,将这样的三个连续正整数的积称为“美妙数”,问所有小于2008三个连续正整数,中间一个是完全平方数,将这样的三个连续正整数的积称为“美妙数
三个连续正整数,中间一个完全是完全平方数,将这样的三个连续正整数的积称为“美妙数”,问所有小于2008
三个连续正整数,中间一个是完全平方数,将这样的三个连续正整数的积称为“美妙数”,问所有小于2008的美妙数的最大公因数是多少?

三个连续正整数,中间一个完全是完全平方数,将这样的三个连续正整数的积称为“美妙数”,问所有小于2008三个连续正整数,中间一个是完全平方数,将这样的三个连续正整数的积称为“美妙数
设中间的数是x^2(x为大于1的整数)
美妙数可表示为（x^2-1）·x^2· (x^2+1）（x≥2）
显然最小的美妙数是60（此时x=2,3×4×5=60）,所以所有美妙数的最大公因数一定小于或等于60,现证明最大公因数就是60
由于60=2×2×3×5,可以分别证明美妙数同时是3,4,5的倍数,那么命题就得证了.
首先由分解因式得到,任意美妙数（x^2-1）·x^2· (x^2+1）=（x-1）（x+1）·x·x· (x^2+1）
x-1,x,x+1是三个连续正整数,必有一个是3的倍数,所以他们的乘积也必然是3的倍数
然后如果x是偶数,那么x的平方必是4的倍数
如果x是奇数,那么x+1和x-1都是偶数,他们的乘积也是4的倍数
最后证明乘积是5的倍数
如果x是5的倍数,乘积是5的倍数
如果x除以5的余数是1,那么x-1是5的倍数,乘积也必然是5的倍数
如果x除以5的余数是4,那么x+1是5的倍数,乘积也必然是5的倍数
如果x除以5的余数是2,那么x^2+1是5的倍数【这是因为（5K+2）^2+1=25k^2+20k+5】
如果x除以5的余数是3,那么x^2+1也是5的倍数【这是因为（5K+3）^2+1=25k^2+30k+10】
所以无论如何乘积都必然是5的倍数
综上,最大公因数是60